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zxcvber 님의 블로그입니다.

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08. Comparison with the Riemann Integral Comparison with the Riemann Integral 먼저 혼동을 막기 위해 Lebesgue measure \(m\)에 대하여 르벡 적분을 \[\int_{[a, b]} f \,d{m} = \int_{[a, b]} f \,d{x} = \int_a^b f \,d{x}\] 와 같이 표기하고, 리만 적분은 \[\mathcal{R}\int_a^b f\,d{x}\] 로 표기하겠습니다. 정리. \(a, b \in \mathbb{R}\) 에 대하여 \(a < b\) 이고 함수 \(f\)가 유계라고 하자. \(f \in \mathcal{R}[a, b]\) 이면 \(f \in \mathcal{L}^{1}[a, b]\) 이고 \(\displaystyle\int_a^b f\,d{x} = \mathcal{R}\in.. 공감수 0 댓글수 0 2023. 6. 20.
07. Dominated Convergence Theorem Almost Everywhere 지난 글에서 measure가 0인 집합 위에서 적분하면 결과가 0이 됨을 확인했습니다. 적분 입장에서 보면 measure가 0인 곳에서의 적분은 의미가 없다고 생각할 수 있겠죠? 그러면 앞으로 그런걸 무시해도 된다고 하면 어떨까요? 정의. (Almost Everywhere) \(P = P(x)\) 가 어떤 성질이라 하자.1 만약 measure가 0인 집합 \(N\)이 존재하여 성질 \(P\)가 모든 \(x \in E \setminus N\) 에서 성립하면, \(P\)가 \(E\)의 거의 모든 점에서 성립한다고 한다. 표기법. 위를 편의상 ‘\(P\) \(\mu\)-a.e. (almost everywhere) on \(E\)’로 적겠습니다. 확률론과도 연관이 깊은 정리 하나.. 공감수 0 댓글수 0 2023. 4. 7.
06. Convergence Theorems Convergence Theorems 르벡 적분 이론에서 굉장히 자주 사용되는 수렴 정리에 대해 다루겠습니다. 이 정리들을 사용하면 굉장히 유용한 결과를 쉽게 얻을 수 있습니다. 먼저 단조 수렴 정리(monotone convergence theorem, MCT)입니다. 이 정리에서는 \(f_n \geq 0\) 인 것이 매우 중요합니다. 정리. (단조 수렴 정리) \(f_n: X \rightarrow[0, \infty]\) 가 measurable이고 모든 \(x \in X\) 에 대하여 \(f_n(x) \leq f_{n+1}(x)\) 라 하자. \[\lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x) = \sup_{n} f_n(x) = f(x)\] 로 두면, \[\int f \,d{\mu} = \li.. 공감수 0 댓글수 0 2023. 3. 25.
05. Lebesgue Integration Lebesgue Integration 르벡 적분을 단계적으로 정의하려고 합니다. \(X = (X, \mathscr{F}, \mu)\) 라고 계속 가정합니다. \(\mathscr{F}\)는 \(\sigma\)-algebra on \(X\), \(\mu\)는 \(\mathscr{F}\)의 measure 입니다. \(E \in \mathscr{F}\) 일 때, 적분을 정의하기 위해 \[\mathscr{F}_E = \{A \cap E : A \in \mathscr{F}\}, \quad \mu_E = \mu|_{\mathscr{F}_E}\] 로 설정하고 \(\int = \int_E\) 로 두어 (\(X, \mathscr{F}_E, \mu_E\)) 위에서 적분을 정의할 수 있습니다. 그러나 굳이 이렇게 하지 않아도.. 공감수 0 댓글수 0 2023. 2. 13.
04. Measurable Functions Measurable Functions Lebesgue integral을 공부하기 전 마지막 준비입니다. Lebesgue integral은 다음과 같이 표기합니다. \[\int_X f \,d{\mu}\] 표기를 보면 크게 3가지 요소가 있음을 확인할 수 있습니다. 바로 집합 \(X\), measure \(\mu\), 그리고 함수 \(f\)입니다. 집합과 measure는 다루었으니 마지막으로 함수에 관한 이야기를 조금 하면 Lebesgue integral을 정의할 수 있습니다! 이제부터 다루는 measurable function 관련 내용은 일반적인 measurable space \((X, \mathscr{F})\)에서 논의합니다. 여기서 \(\mathscr{F}\)는 당연히 \(\sigma\)-algebr.. 공감수 0 댓글수 0 2023. 2. 6.
03. Remarks, Measure Spaces Remarks on Construction of Measure Construction of measure 증명에서 추가로 참고할 내용입니다. 명제. \(A\)가 열린집합이면 \(A \in \mathfrak{M}(\mu)\) 이다. 또한 \(A^C \in \mathfrak{M}(\mu)\) 이므로, \(F\)가 닫힌집합이면 \(F \in \mathfrak{M}(\mu)\) 이다. 증명. 중심이 \(x\in \mathbb{R}^p\) 이고 반지름이 \(r\)인 열린 box를 \(I(x, r)\)이라 두자. \(I(x, r)\)은 명백히 \(\mathfrak{M}_F(\mu)\)의 원소이다. 이제 \[A = \bigcup_{\substack{x \in \mathbb{Q}^p, \; r \in \mathbb{Q.. 공감수 0 댓글수 0 2023. 1. 24.
02. Construction of Measure Construction of Measure 이제 본격적으로 집합을 재보도록 하겠습니다. 우리가 잴 수 있는 집합들부터 시작합니다. \(\mathbb{R}^p\)에서 논의할 건데, 이제 여기서부터는 \(\mathbb{R}\)의 구간의 열림/닫힘을 모두 포괄하여 정의합니다. 즉, \(\mathbb{R}\)의 구간이라고 하면 \([a, b], (a, b), [a, b), (a, b]\) 네 가지 경우를 모두 포함합니다. 정의. (\(\mathbb{R}^p\)의 구간) \(a_i, b_i \in \mathbb{R}\), \(a_i \leq b_i\) 라 하자. \(I_i\)가 \(\mathbb{R}\)의 구간이라고 할 때, \(\mathbb{R}^p\)의 구간은 \[\prod_{i=1}^p I_i = I_1 \.. 공감수 0 댓글수 0 2023. 1. 23.
01. Algebra of Sets Introduction 이 시리즈에서는 르벡 적분을 다룹니다. 르벡 적분 또한 함수의 그래프와 \(x\)축 사이의 ‘부호 있는 넓이’를 측정한다는 점에서 리만 적분과 유사합니다. 하지만 리만 적분에서는 \(x\)축을 잘게 잘라 넓이를 근사했기 때문에 적분 가능성이 함수의 연속성에 크게 의존하게 됩니다. 르벡 적분에서는 \(y\)축을 잘게 자름으로써 이러한 문제를 해결하고, 적분의 수렴정리와 같은 유용한 결과를 쉽게 얻을 수 있습니다. 참고사항 서울대학교 수리과학부 해석개론 및 연습 2 강의를 들으며 제가 정리한 강의 노트를 재구성했습니다. 강의 교재가 Principles of Mathematical Analysis (Walter Rudin)이기 때문에 이 책을 많이 참고하였습니다. 수학 용어 특성상 번역.. 공감수 1 댓글수 0 2023. 1. 11.
수학 공부에 대한 고찰 최초 작성일 22년 2월 3일 과외돌이 수업을 위해 새로운 교재를 골라야 했다. 교재를 고민하던 도중 내가 생각하는 수학 공부 방법을 설명하기에 매우 좋은 예시가 생겨서 이렇게 글로 남기게 되었다. 교재를 고민하면서 동생에게 블랙라벨 수학(상) 책이 있냐고 물어봤는데, 이미 버린 것 같다고 했다. 그러면서 나보고 현우진 뉴런 책에 있는 내용을 한 번 봤으면 좋겠다고 했다. 이유를 물어보니 ‘형도 그 책에 나와있는 내용 다 아나 싶어서?’라고 하길래, 한 번 훑어 봤다. 딱히 특별한 내용은 없고 기본 개념 설명 되어있는 것 같아서 어디가 특별하냐고 했더니 예시로 한 부분을 보여줬는데, \(x = a\) 에 대하여 대칭인 함수를 적분하는 방법, 점 대칭인 함수를 적분하는 방법에 대해 소개하고 있었다. 보자마.. 공감수 8 댓글수 0 2022. 4. 8.
평행선의 성질 지난주, 동생이 내게 질문했다. 형, 엇각이 같으면 두 직선이 평행해? 당연하다. 중학교 때 그렇게 배웠으니까. 하지만 다음 질문은 며칠을 고민하게 만들었다. 왜? ...... 기억이 안 난다. 이유를 배우긴 했나? 이 글에서는 다음을 논증 기하의 방식으로 밝히고자 한다. 직선 \(l\) 이 두 직선 \(m, n\) 과 각각 한 점에서 만날 때, (1) \(m \parallel n\) 일 필요충분조건은 동위각이 같은 것이다. (2) \(m \parallel n\) 일 필요충분조건은 엇각이 같은 것이다. 우선 둘 중 하나가 참이면 나머지 하나는 맞꼭지각의 성질에 의해 자동으로 참이다. 조금 찾아보니, 굉장히 직관에 의존하는 설명들이 많았다. 겹치면 포개진다, 평행하니까 당연히 각이 같을 것이다, 동위각이 .. 공감수 5 댓글수 1 2021. 5. 5.
곡선의 길이와 볼록성 곡선의 길이와 볼록성에 관한 문제를 받게 되었는데, 오랜만에 좀 고민할 만한 문제를 받았고, 결과가 흥미로워서 정리하기로 했다. 닫힌 구간 \([a, b]\) 에서 정의된 아래로 볼록한 두 곡선 \(f(x), g(x)\) 를 생각한다. 만약 구간의 양 끝 점에서 함숫값이 같으며, \(f(x)\) 가 항상 \(g(x)\) 보다 위에 존재한다면 아래와 같은 상황이 될 것이며, 누가 봐도 아래 쪽에 있는 곡선 \(g(x)\) 가 더 길어보인다는 생각을 할 수 있을 것이다. 조금 명확하게 문제를 정의하고, 증명해 보자. 정리. 실수 전체의 집합에서 두 번 미분가능한 함수 \(f(x), g(x)\) 가 닫힌 구간 \([a, b]\) 에서 다음 조건을 만족시킨다. (i) \(f(a) = g(a), f(b) = g(.. 공감수 2 댓글수 0 2020. 7. 25.
수포자 양성 Originally written on December 06, 2019. 자료를 만들다가 나쁜 생각이 들어서 (…) 중1 학생에게 다음과 같은 문제를 선물하기로 했다. 군론 군(group)에 대한 문제이다. 현재 교육과정에서는 이항연산, 항등원, 역원의 내용이 전부 빠져있음에도 출제했다… (1)번 에서는 더한 후 나머지를 취하는 연산 \(+_p\) 을 주고 집합 \(\mathbb{Z}_p\) 가 군이 됨을 보여야 한다. (2)번은 cyclic group 에 관한 내용이다. \(0\neq a \in {\mathbb{Z}_p}\) 만을 이용해서 \(\mathbb{Z}_p\) 를 생성할 수 있음을 보여야 한다. 해석학 전에 \(\sqrt{2}\) 가 무리수인 것에 대해서 얘기한 적이 있었는데, 내가 \(\sq.. 공감수 0 댓글수 0 2020. 1. 10.

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