곡선의 길이와 볼록성

곡선의 길이와 볼록성에 관한 문제를 받게 되었는데, 오랜만에 좀 고민할 만한 문제를 받았고, 결과가 흥미로워서 정리하기로 했다.

닫힌 구간 $[a,b]$ 에서 정의된 아래로 볼록한 두 곡선 $f(x),g(x)$ 를 생각한다. 만약 구간의 양 끝 점에서 함숫값이 같으며, $f(x)$ 가 항상 $g(x)$ 보다 위에 존재한다면 아래와 같은 상황이 될 것이며, 누가 봐도 아래 쪽에 있는 곡선 $g(x)$ 가 더 길어보인다는 생각을 할 수 있을 것이다. 조금 명확하게 문제를 정의하고, 증명해 보자.

문제의 상황

정리. 실수 전체의 집합에서 두 번 미분가능한 함수 $f(x),g(x)$ 가 닫힌 구간 $[a,b]$ 에서 다음 조건을 만족시킨다.

(i) $f(a)=g(a),f(b)=g(b)$ 
(ii) $f(x)\ge g(x)$ 
(iii) $f^{″}(x)\ge 0$, $g^{″}(x)\ge 0$ 

닫힌 구간 $[a,b]$ 에서 곡선 $y=f(x)$ 와 $y=g(x)$ 의 길이를 각각 $l_1,l_2$ 라고 할 때, $l_1\le l_2$ 이다.

문제의 증명을 블로그에 활자화 하는 것은 번거로우므로... 첨부파일로 남긴다.

arc_length_and_convexity.pdf

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문제를 풀기 위해 핵심이 되었던 아이디어는 크게 두 가지이다.

1. 곡선의 길이를 구하기 위해 적분하는 함수 $\phi (x)=\sqrt{1+x^2}$ 이 아래로 볼록이다.
2. 아래로 볼록인 곡선 위에서 접선을 그었을 때, 그 접선은 항상 곡선보다 아래에 있게 된다.

이 사실을 떠올리는데 시간이 좀 걸렸다. (훈련이 부족하다) 나머지는 적절하게 계산해주면 원하는 결과를 얻을 수 있었다.

추가적으로 $g^{″}(x)\ge 0$ 이라는 조건은 사용되지 않았는데, $g(x)$ 의 경우에는 아래로 볼록한 $f(x)$ 보다 아래에 있기만 하면, 진동하는 등 볼록성이 변화하더라도 곡선의 길이가 $f(x)$ 보다 길어지는 것은 직관적으로 이해가 된다.

더불어 마지막 부분적분을 하는 과정에서 정말 필요했던 조건이 $f^{″}(x)\ge 0$, 즉 $f$ 가 두 번 미분가능하다는 조건이었다. 사실 볼록성은 미분가능성과 별개로 정의할 수 있다. (젠센 부등식) 곡선의 길이를 구해야 하는 상황이므로, 최소 한 번은 미분가능해야 할 것 같은데, 두 번까지는 과한 조건일 수 있겠다는 생각이 든다. 이 부분은 적분의 평균값 정리를 적절하게 사용하면 해결 될 문제 같은데, 시도해 보지는 않았으므로, 나중에 고민해 봐야겠다.

당연한 것들을 논리적으로 증명하고, 결과를 공유할 수 있게 해주는 '언어'인 수학은 정말 아름답다.