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Mathematics2

곡선의 길이와 볼록성 곡선의 길이와 볼록성에 관한 문제를 받게 되었는데, 오랜만에 좀 고민할 만한 문제를 받았고, 결과가 흥미로워서 정리하기로 했다. 닫힌 구간 \([a, b]\) 에서 정의된 아래로 볼록한 두 곡선 \(f(x), g(x)\) 를 생각한다. 만약 구간의 양 끝 점에서 함숫값이 같으며, \(f(x)\) 가 항상 \(g(x)\) 보다 위에 존재한다면 아래와 같은 상황이 될 것이며, 누가 봐도 아래 쪽에 있는 곡선 \(g(x)\) 가 더 길어보인다는 생각을 할 수 있을 것이다. 조금 명확하게 문제를 정의하고, 증명해 보자. 정리. 실수 전체의 집합에서 두 번 미분가능한 함수 \(f(x), g(x)\) 가 닫힌 구간 \([a, b]\) 에서 다음 조건을 만족시킨다. (i) \(f(a) = g(a), f(b) = g(.. 2020. 7. 25.
수포자 양성 Originally written on December 06, 2019. 자료를 만들다가 나쁜 생각이 들어서 (…) 중1 학생에게 다음과 같은 문제를 선물하기로 했다. 군론 군(group)에 대한 문제이다. 현재 교육과정에서는 이항연산, 항등원, 역원의 내용이 전부 빠져있음에도 출제했다… (1)번 에서는 더한 후 나머지를 취하는 연산 \(+_p\) 을 주고 집합 \(\mathbb{Z}_p\) 가 군이 됨을 보여야 한다. (2)번은 cyclic group 에 관한 내용이다. \(0\neq a \in {\mathbb{Z}_p}\) 만을 이용해서 \(\mathbb{Z}_p\) 를 생성할 수 있음을 보여야 한다. 해석학 전에 \(\sqrt{2}\) 가 무리수인 것에 대해서 얘기한 적이 있었는데, 내가 \(\sq.. 2020. 1. 10.