02. Construction of Measure
Construction of Measure 이제 본격적으로 집합을 재보도록 하겠습니다. 우리가 잴 수 있는 집합들부터 시작합니다. \(\mathbb{R}^p\)에서 논의할 건데, 이제 여기서부터는 \(\mathbb{R}\)의 구간의 열림/닫힘을 모두 포괄하여 정의합니다. 즉, \(\mathbb{R}\)의 구간이라고 하면 \([a, b], (a, b), [a, b), (a, b]\) 네 가지 경우를 모두 포함합니다. 정의. (\(\mathbb{R}^p\)의 구간) \(a_i, b_i \in \mathbb{R}\), \(a_i \leq b_i\) 라 하자. \(I_i\)가 \(\mathbb{R}\)의 구간이라고 할 때, \(\mathbb{R}^p\)의 구간은 \[\prod_{i=1}^p I_i = I_1 \..
2023. 1. 23.
곡선의 길이와 볼록성
곡선의 길이와 볼록성에 관한 문제를 받게 되었는데, 오랜만에 좀 고민할 만한 문제를 받았고, 결과가 흥미로워서 정리하기로 했다. 닫힌 구간 \([a, b]\) 에서 정의된 아래로 볼록한 두 곡선 \(f(x), g(x)\) 를 생각한다. 만약 구간의 양 끝 점에서 함숫값이 같으며, \(f(x)\) 가 항상 \(g(x)\) 보다 위에 존재한다면 아래와 같은 상황이 될 것이며, 누가 봐도 아래 쪽에 있는 곡선 \(g(x)\) 가 더 길어보인다는 생각을 할 수 있을 것이다. 조금 명확하게 문제를 정의하고, 증명해 보자. 정리. 실수 전체의 집합에서 두 번 미분가능한 함수 \(f(x), g(x)\) 가 닫힌 구간 \([a, b]\) 에서 다음 조건을 만족시킨다. (i) \(f(a) = g(a), f(b) = g(..
2020. 7. 25.