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Mathematics12

평행선의 성질 지난주, 동생이 내게 질문했다. 형, 엇각이 같으면 두 직선이 평행해? 당연하다. 중학교 때 그렇게 배웠으니까. 하지만 다음 질문은 며칠을 고민하게 만들었다. 왜? ...... 기억이 안 난다. 이유를 배우긴 했나? 이 글에서는 다음을 논증 기하의 방식으로 밝히고자 한다. 직선 \(l\) 이 두 직선 \(m, n\) 과 각각 한 점에서 만날 때, (1) \(m \parallel n\) 일 필요충분조건은 동위각이 같은 것이다. (2) \(m \parallel n\) 일 필요충분조건은 엇각이 같은 것이다. 우선 둘 중 하나가 참이면 나머지 하나는 맞꼭지각의 성질에 의해 자동으로 참이다. 조금 찾아보니, 굉장히 직관에 의존하는 설명들이 많았다. 겹치면 포개진다, 평행하니까 당연히 각이 같을 것이다, 동위각이 .. 2021. 5. 5.
곡선의 길이와 볼록성 곡선의 길이와 볼록성에 관한 문제를 받게 되었는데, 오랜만에 좀 고민할 만한 문제를 받았고, 결과가 흥미로워서 정리하기로 했다. 닫힌 구간 \([a, b]\) 에서 정의된 아래로 볼록한 두 곡선 \(f(x), g(x)\) 를 생각한다. 만약 구간의 양 끝 점에서 함숫값이 같으며, \(f(x)\) 가 항상 \(g(x)\) 보다 위에 존재한다면 아래와 같은 상황이 될 것이며, 누가 봐도 아래 쪽에 있는 곡선 \(g(x)\) 가 더 길어보인다는 생각을 할 수 있을 것이다. 조금 명확하게 문제를 정의하고, 증명해 보자. 정리. 실수 전체의 집합에서 두 번 미분가능한 함수 \(f(x), g(x)\) 가 닫힌 구간 \([a, b]\) 에서 다음 조건을 만족시킨다. (i) \(f(a) = g(a), f(b) = g(.. 2020. 7. 25.
수포자 양성 Originally written on December 06, 2019. 자료를 만들다가 나쁜 생각이 들어서 (…) 중1 학생에게 다음과 같은 문제를 선물하기로 했다. 군론 군(group)에 대한 문제이다. 현재 교육과정에서는 이항연산, 항등원, 역원의 내용이 전부 빠져있음에도 출제했다… (1)번 에서는 더한 후 나머지를 취하는 연산 \(+_p\) 을 주고 집합 \(\mathbb{Z}_p\) 가 군이 됨을 보여야 한다. (2)번은 cyclic group 에 관한 내용이다. \(0\neq a \in {\mathbb{Z}_p}\) 만을 이용해서 \(\mathbb{Z}_p\) 를 생성할 수 있음을 보여야 한다. 해석학 전에 \(\sqrt{2}\) 가 무리수인 것에 대해서 얘기한 적이 있었는데, 내가 \(\sq.. 2020. 1. 10.

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