전체 글64 07. Dominated Convergence Theorem Almost Everywhere 지난 글에서 measure가 0인 집합 위에서 적분하면 결과가 0이 됨을 확인했습니다. 적분 입장에서 보면 measure가 0인 곳에서의 적분은 의미가 없다고 생각할 수 있겠죠? 그러면 앞으로 그런걸 무시해도 된다고 하면 어떨까요? 정의. (Almost Everywhere) P=P(x) 가 어떤 성질이라 하자.1 만약 measure가 0인 집합 N이 존재하여 성질 P가 모든 x∈E∖N 에서 성립하면, P가 E의 거의 모든 점에서 성립한다고 한다. 표기법. 위를 편의상 ‘P μ-a.e. (almost everywhere) on E’로 적겠습니다. 확률론과도 연관이 깊은 정리 하나.. 2023. 4. 7. 06. Convergence Theorems Convergence Theorems 르벡 적분 이론에서 굉장히 자주 사용되는 수렴 정리에 대해 다루겠습니다. 이 정리들을 사용하면 굉장히 유용한 결과를 쉽게 얻을 수 있습니다. 먼저 단조 수렴 정리(monotone convergence theorem, MCT)입니다. 이 정리에서는 fn≥0 인 것이 매우 중요합니다. 정리. (단조 수렴 정리) fn:X→[0,∞] 가 measurable이고 모든 x∈X 에 대하여 fn(x)≤fn+1(x) 라 하자. limn→∞fn(x)=supnfn(x)=f(x) 로 두면, \[\int f \,d{\mu} = \li.. 2023. 3. 25. 05. Lebesgue Integration Lebesgue Integration 르벡 적분을 단계적으로 정의하려고 합니다. X=(X,F,μ) 라고 계속 가정합니다. F는 σ-algebra on X, μ는 F의 measure 입니다. E∈F 일 때, 적분을 정의하기 위해 FE={A∩E:A∈F},μE=μ|FE 로 설정하고 ∫=∫E 로 두어 (X,FE,μE) 위에서 적분을 정의할 수 있습니다. 그러나 굳이 이렇게 하지 않아도.. 2023. 2. 13. 04. Measurable Functions Measurable Functions Lebesgue integral을 공부하기 전 마지막 준비입니다. Lebesgue integral은 다음과 같이 표기합니다. ∫Xfdμ 표기를 보면 크게 3가지 요소가 있음을 확인할 수 있습니다. 바로 집합 X, measure μ, 그리고 함수 f입니다. 집합과 measure는 다루었으니 마지막으로 함수에 관한 이야기를 조금 하면 Lebesgue integral을 정의할 수 있습니다! 이제부터 다루는 measurable function 관련 내용은 일반적인 measurable space (X,F)에서 논의합니다. 여기서 F는 당연히 σ-algebr.. 2023. 2. 6. 이전 1 2 3 4 5 ··· 16 다음
