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05. Lebesgue Integration Lebesgue Integration 르벡 적분을 단계적으로 정의하려고 합니다. \(X = (X, \mathscr{F}, \mu)\) 라고 계속 가정합니다. \(\mathscr{F}\)는 \(\sigma\)-algebra on \(X\), \(\mu\)는 \(\mathscr{F}\)의 measure 입니다. \(E \in \mathscr{F}\) 일 때, 적분을 정의하기 위해 \[\mathscr{F}_E = \{A \cap E : A \in \mathscr{F}\}, \quad \mu_E = \mu|_{\mathscr{F}_E}\] 로 설정하고 \(\int = \int_E\) 로 두어 (\(X, \mathscr{F}_E, \mu_E\)) 위에서 적분을 정의할 수 있습니다. 그러나 굳이 이렇게 하지 않아도.. 2023. 2. 13.
04. Measurable Functions Measurable Functions Lebesgue integral을 공부하기 전 마지막 준비입니다. Lebesgue integral은 다음과 같이 표기합니다. \[\int_X f \,d{\mu}\] 표기를 보면 크게 3가지 요소가 있음을 확인할 수 있습니다. 바로 집합 \(X\), measure \(\mu\), 그리고 함수 \(f\)입니다. 집합과 measure는 다루었으니 마지막으로 함수에 관한 이야기를 조금 하면 Lebesgue integral을 정의할 수 있습니다! 이제부터 다루는 measurable function 관련 내용은 일반적인 measurable space \((X, \mathscr{F})\)에서 논의합니다. 여기서 \(\mathscr{F}\)는 당연히 \(\sigma\)-algebr.. 2023. 2. 6.
03. Remarks, Measure Spaces Remarks on Construction of Measure Construction of measure 증명에서 추가로 참고할 내용입니다. 명제. \(A\)가 열린집합이면 \(A \in \mathfrak{M}(\mu)\) 이다. 또한 \(A^C \in \mathfrak{M}(\mu)\) 이므로, \(F\)가 닫힌집합이면 \(F \in \mathfrak{M}(\mu)\) 이다. 증명. 중심이 \(x\in \mathbb{R}^p\) 이고 반지름이 \(r\)인 열린 box를 \(I(x, r)\)이라 두자. \(I(x, r)\)은 명백히 \(\mathfrak{M}_F(\mu)\)의 원소이다. 이제 \[A = \bigcup_{\substack{x \in \mathbb{Q}^p, \; r \in \mathbb{Q.. 2023. 1. 24.
02. Construction of Measure Construction of Measure 이제 본격적으로 집합을 재보도록 하겠습니다. 우리가 잴 수 있는 집합들부터 시작합니다. \(\mathbb{R}^p\)에서 논의할 건데, 이제 여기서부터는 \(\mathbb{R}\)의 구간의 열림/닫힘을 모두 포괄하여 정의합니다. 즉, \(\mathbb{R}\)의 구간이라고 하면 \([a, b], (a, b), [a, b), (a, b]\) 네 가지 경우를 모두 포함합니다. 정의. (\(\mathbb{R}^p\)의 구간) \(a_i, b_i \in \mathbb{R}\), \(a_i \leq b_i\) 라 하자. \(I_i\)가 \(\mathbb{R}\)의 구간이라고 할 때, \(\mathbb{R}^p\)의 구간은 \[\prod_{i=1}^p I_i = I_1 \.. 2023. 1. 23.