04. Measurable Functions

Measurable Functions

Lebesgue integral을 공부하기 전 마지막 준비입니다. Lebesgue integral은 다음과 같이 표기합니다. $${\int }_{X}fd\mu$$ 표기를 보면 크게 3가지 요소가 있음을 확인할 수 있습니다. 바로 집합 $X$, measure $\mu$, 그리고 함수 $f$입니다. 집합과 measure는 다루었으니 마지막으로 함수에 관한 이야기를 조금 하면 Lebesgue integral을 정의할 수 있습니다!

이제부터 다루는 measurable function 관련 내용은 일반적인 measurable space $(X,\mathcal{F})$에서 논의합니다. 여기서 $\mathcal{F}$는 당연히 $\sigma$-algebra on $X$입니다.

정의. (Measurable Function) Measurable space $(X,\mathcal{F})$와 함수 $f:X\to \bar{\mathbb{R}}$ 가 주어졌을 때, 모든 $a\in \mathbb{R}$ 에 대하여 집합 $$\{x\in X:f(x)>a\}$$ 가 measurable이면 $f$를 measurable function이라 한다.¹

위 사실로부터 다음을 바로 알 수 있습니다.

따름정리. ${\mathbb{R}}^p$에서 정의된 연속함수는 Lebesgue measurable이다.

증명. 임의의 $a\in \mathbb{R}$ 에 대해 $\{x:f(x)>a\}$가 ${\mathbb{R}}^p$의 열린집합이므로, $\mathfrak{M}(m)$의 원소가 되어 measurable이다.

위 정의를 보고 생각하다 보면 굳이 $f(x)>a$ 로 정의해야 했나 의문이 생깁니다. $f(x)\ge a$, $f(x)<a$ 를 사용할 수도 있었을 것입니다.

정리. Measurable space $X$ 위에서 정의된 함수 $f$가 주어졌을 때, 다음은 동치이다.

1. 모든 $a\in \mathbb{R}$ 에 대하여 $\{x:f(x)>a\}$는 measurable이다.
2. 모든 $a\in \mathbb{R}$ 에 대하여 $\{x:f(x)\ge a\}$는 measurable이다.
3. 모든 $a\in \mathbb{R}$ 에 대하여 $\{x:f(x)<a\}$는 measurable이다.
4. 모든 $a\in \mathbb{R}$ 에 대하여 $\{x:f(x)\le a\}$는 measurable이다.

증명. 우선 (1)을 가정하고, 다음 관계식을 이용하면 $$\begin{array}{rl}\{x:f(x)\ge a\}& =f^{-1}([a,\mathrm{\infty }))\\ & =f^{-1}\left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a+\frac{1}{n},\mathrm{\infty })\right)\\ & =\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}^{-1}\left((a+\frac{1}{n},\mathrm{\infty })\right)\end{array}$$ measurable set의 countable union도 measurable이므로 ($\sigma$-algebra) (2)가 성립한다. 이제 (2)를 가정하면 $$\{x:f(x)<a\}=X\setminus \{x:f(x)\ge a\}$$ 로부터 (3)이 성립하는 것을 알 수 있다. (3)을 가정하면 위와 마찬가지 방법으로 $$\begin{array}{rl}\{x:f(x)\le a\}& =f^{-1}((-\mathrm{\infty },a])\\ & =f^{-1}\left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-\mathrm{\infty },a-\frac{1}{n})\right)\\ & =\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}^{-1}\left((-\mathrm{\infty },a-\frac{1}{n})\right)\end{array}$$ 과 같이 변형하여 (4)가 성립함을 알 수 있다. 마지막으로 (4)를 가정하면 $$\{x:f(x)>a\}=X\setminus \{x:f(x)\le a\}$$ 로부터 (1)이 성립함을 알 수 있다.

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이제 정의를 살펴봤으니, measurable function들이 어떠한 성질을 갖는지 살펴봅니다.

정리. $f$가 measurable이면 $\left|f\right|$도 measurable이다.

증명. 다음 관계로부터 자명하다. $$\{x:|f(x)|<a\}=\{x:f(x)<a\}\cap \{x:f(x)>-a\}.$$

역은 성립할까요?

참고. 역은 성립하지 않는다. Measurable하지 않은 $S\subseteq (0,\mathrm{\infty })$ 위에서 함수 $g$를 다음과 같이 정의하자. $$g(x)=\{\begin{array}{ll}x& (x\in S)\\ -x& (x\notin S).\end{array}$$ 그러면 모든 $x\in \mathbb{R}$ 에 대해 $|g(x)|=x$ 이므로 $\left|g\right|$는 measurable function이다. 하지만 $\{x:g(x)>0\}=\mathbb{R}\setminus (-\mathrm{\infty },0]=S$ 는 measurable이 아니므로 $g$는 measurable function이 아니다.

명제. $f,g$가 measurable function이라 하자.

1. $max\{f,g\}$, $min\{f,g\}$는 measurable function이다.
2. $f^{+}=max\{f,0\}$, $f^{-}=-min\{f,0\}$ 는 measurable function이다.

증명. 다음과 같이 적는다. $$\begin{array}{rl}\{x:max\{f,g\}>a\}& =\{x:f(x)>a\}\cup \{x:g(x)>a\}\\ \{x:min\{f,g\}<a\}& =\{x:f(x)<a\}\cup \{x:g(x)<a\}\end{array}$$ 그리고 (2)는 (1)에 의해 자명하다.

다음은 함수열의 경우입니다. Measurable 함수열의 극한함수도 measurable일까요?

정리. $\{f_n\}$가 measurable 함수열이라 하자. 그러면 $$\underset{n\in \mathbb{N}}{sup}{f}_n,\underset{n\in \mathbb{N}}{inf}{f}_n,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{f}_n,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{f}_n$$ 은 모두 measurable이다.

증명. 다음이 성립한다. $$inf{f}_n=-sup(-f_n),lim sup{f}_n=\underset{n}{inf}\underset{k\ge n}{sup}{f}_k,lim inf{f}_n=-lim sup(-f_n).$$ 따라서 위 명제는 $sup{f}_n$에 대해서만 보이면 충분하다. 이제 $sup{f}_n$이 measurable function인 것은 $$\{x:\underset{n\in \mathbb{N}}{sup}{f}_n(x)>a\}=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\{x:f_n(x)>a\}\in \mathcal{F}$$ 로부터 당연하다.

$lim{f}_n$이 존재하는 경우, 위 명제를 이용하면 $lim{f}_n=lim sup{f}_n=lim inf{f}_n$ 이기 때문에 다음을 알 수 있습니다. Measurability는 극한에 의해서 보존됩니다!

따름정리. 수렴하는 measurable 함수열의 극한함수는 measurable이다.

이제 마지막으로 measurable 함수의 합과 곱 또한 measurable이면 좋겠습니다. 각각 증명하는 것도 방법이지만, 두 경우를 한꺼번에 증명할 수 있는 방법이 있습니다.

정리. $X$에서 정의된 실함수 $f,g$가 measurable이라 하자. 연속함수 $F:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ 에 대하여 $h(x)=F(f(x),g(x))$ 는 measurable이다. 이로부터 $f+g$와 $fg$가 measurable임을 알 수 있다.²

증명. $a\in \mathbb{R}$ 에 대하여 $G_a=\{(u,v)\in {\mathbb{R}}^2:F(u,v)>a\}$ 로 정의합니다. 그러면 $F$가 연속이므로 $G_a$는 열린집합이고, $G_a$ 열린구간의 합집합으로 적을 수 있다. 따라서 $a_n,b_n,c_n,d_n\in \mathbb{R}$ 에 대하여 $$G_a={\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n,b_n)\times (c_n,d_n)}$$ 로 두면 $$\begin{array}{rl}\{x\in X:F(f(x),g(x))>a\}=& \{x\in X:(f(x),g(x))\in G_a\}\\ =& \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\{x\in X:a_n<f(x)<b_n,c_n<g(x)<d_n\}\\ =& \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\{x\in X:a_n<f(x)<b_n\}\cap \{x\in X:c_n<g(x)<d_n\}\end{array}$$ 이다. 여기서 $f,g$가 measurable이므로 $\{x\in X:F(f(x),g(x))>a\}$도 measurable이다. 이로부터 $F(x,y)=x+y$, $F(x,y)=xy$ 인 경우를 고려하면 $f+g$, $fg$가 measurable임을 알 수 있다.

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아래 내용은 Lebesgue integral의 정의에서 사용할 매우 중요한 building block입니다.

정의. (Characteristic Function) 집합 $E\subseteq X$ 의 characteristic function ${\chi }_E$는 다음과 같이 정의한다. $${\chi }_E(x)=\{\begin{array}{ll}1& (x\in E)\\ 0& (x\notin E).\end{array}$$

참고로 characteristic function은 indicator function 등으로도 불리며, ${\mathbf{1}}_E,K_E$로 표기하는 경우도 있습니다.

정의. (Simple Function) 함수 $s:X\to \mathbb{R}$ 의 치역이 유한집합이면 simple function이라 한다.

치역이 유한집합임을 이용하면 simple function은 다음과 같이 적을 수 있습니다.

참고. 치역의 원소를 잡아 $s(X)=\{c_1,c_2,\dots ,c_n\}$ 로 두자. 여기서 $E_i=s^{-1}(c_i)$ 로 두면 다음과 같이 적을 수 있다. $$s(x)=\sum _{i=1}^n{c}_i{\chi }_{E_i}(x).$$

이로부터 모든 simple function은 characteristic function의 linear combination으로 표현됨을 알 수 있습니다. 물론 $E_i$는 쌍마다 서로소입니다.

여기서 $E_i$에 measurable 조건이 추가되면, 정의에 의해 ${\chi }_{E_i}$도 measurable function입니다. 따라서 모든 measurable simple function을 measurable ${\chi }_{E_i}$의 linear combination으로 표현할 수 있습니다.

아래 정리는 simple function이 Lebesgue integral의 building block이 되는 이유를 잘 드러냅니다. 모든 함수는 simple function으로 근사할 수 있습니다.

정리. $f:X\to \bar{\mathbb{R}}$ 라 두자. 모든 $x\in X$ 에 대하여 $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{s}_n(x)=f(x),|s_n(x)|\le |f(x)|$$ 인 simple 함수열 $s_n$이 존재한다. 여기서 추가로

1. $f$가 유계이면 $s_n$은 $f$로 고르게 수렴한다.
2. $f\ge 0$ 이면 단조증가하는 함수열 $s_n$이 존재하며 ${\displaystyle \underset{n\in \mathbb{N}}{sup}{s}_n=f}$ 이다.
3. $f$가 measurable이면 measurable simple 함수열 $s_n$이 존재한다.

증명. 우선 $f\ge 0$ 인 경우부터 보인다. $n\in \mathbb{N}$ 에 대하여 집합 $E_{n,i}$를 다음과 같이 정의한다. $$E_{n,i}=\{\begin{array}{ll}\{x:{\displaystyle \frac{i}{2^n}}\le f(x)<{\displaystyle \frac{i+1}{2^n}}\}& (i=0,1,\dots ,n\cdot 2^n-1)\\ \{x:f(x)\ge n\}& (i=n\cdot 2^n)\end{array}$$ 이를 이용하여 $$s_n(x)=\sum _{n=0}^{n\cdot 2^n}\frac{i}{2^n}{\chi }_{E_{n,i}}(x)$$ 로 두면 $s_n$은 simple function이다. 여기서 $E_{n,i}$와 $s_n$의 정의로부터 $s_n(x)\le f(x)$ 은 자연스럽게 얻어지고, $x\in \{x:f(x)<n\}$ 에 대하여 $|f(x)-s_n(x)|\le 2^{-n}$ 인 것도 알 수 있다. 여기서 $f(x)\to \mathrm{\infty }$ 로 발산하는 부분이 존재하더라도, 충분히 큰 $n$에 대하여 $\{x:f(x)\ge n\}$ 위에서는 $s_n(x)=n\to \mathrm{\infty }$ 이므로 문제가 되지 않는다. 따라서 $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{s}_n(x)=f(x),(x\in X)$$ 라 할 수 있다.

(1)을 증명하기 위해 $f$가 유계임을 가정하면, 적당한 $M>0$ 에 대해 $f(x)<M$ 이다. 그러면 충분히 큰 $n$에 대하여 $\{x:f(x)<n\}=X$ 이므로 모든 $x\in X$ 에 대해 $$|f(x)-s_n(x)|\le 2^{-n}$$ 가 되어 $s_n$이 $f$로 고르게 수렴함을 알 수 있다.

(2)의 경우 $s_n$의 정의에 의해 단조증가함을 알 수 있다. 여기서 $f\ge 0$ 조건은 분명히 필요하다. $s_n(x)\le s_{n+1}(x)$ 이므로 당연히 ${\displaystyle \underset{n\in \mathbb{N}}{sup}{s}_n=f}$ 이다.

(3)을 증명하기 위해 $f$가 measurable임을 가정하면 $E_{n,i}$도 measurable이므로 $s_n$은 measurable simple 함수열이 된다.

이제 일반적인 $f$에 대해서는 $f=f^{+}-f^{-}$ 로 적는다.³ 그러면 앞서 증명한 사실을 이용해 $g_n\to f^{+}$, $h_n\to f^{-}$ 인 simple function $g_n,h_n$을 잡을 수 있다. 이제 $s_n=g_n-h_n$ 으로 두면 $|s_n(x)|\le |f(x)|$ 가 성립하고, $s_n\to f$ 도 성립한다.

한편 이 정리를 이용하면 $f+g$, $fg$가 measurable임을 증명하기 쉬워집니다. 단, $f+g$, $fg$가 잘 정의되어야 합니다. 이는 $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ 와 같은 상황이 발생하지 않는 경우를 말합니다.

따름정리. $f,g$가 measurable이고 $f+g$, $fg$가 잘 정의된다면, $f+g$와 $fg$는 measurable이다.

증명. $f,g$를 각각 measurable simple function $f_n,g_n$으로 근사한다. 그러면 $$f_n+g_n\to f+g,f_n{g}_n\to fg$$ 이고 measurability는 극한에 의해 보존되므로 $f+g,fg$는 measurable이다.

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1. 일반적으로는 ‘measurable set의 preimage가 measurable이 될 때’로 정의합니다.↩︎
2. 참고로 $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ 의 경우는 정의되지 않으므로 생각하지 않습니다.↩︎
3. 이 정의에서 $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ 가 나타나지 않음에 유의해야 합니다.↩︎