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Mathematics/Measure Theory

03. Remarks, Measure Spaces

by zxcvber 2023. 1. 24.

Remarks on Construction of Measure

Construction of measure 증명에서 추가로 참고할 내용입니다.

명제. \(A\)가 열린집합이면 \(A \in \mathfrak{M}(\mu)\) 이다. 또한 \(A^C \in \mathfrak{M}(\mu)\) 이므로, \(F\)가 닫힌집합이면 \(F \in \mathfrak{M}(\mu)\) 이다.

증명. 중심이 \(x\in \mathbb{R}^p\) 이고 반지름이 \(r\)인 열린 box를 \(I(x, r)\)이라 두자. \(I(x, r)\)은 명백히 \(\mathfrak{M}_F(\mu)\)의 원소이다. 이제 \[A = \bigcup_{\substack{x \in \mathbb{Q}^p, \; r \in \mathbb{Q}\\ I(x, r)\subseteq A}} I(x, r)\] 로 적을 수 있으므로 \(A\)는 \(\mathfrak{M}_F(\mu)\)의 원소들의 countable union이 되어 \(A \in \mathfrak{M}(\mu)\) 이다. 이제 \(\mathfrak{M}(\mu)\)가 \(\sigma\)-algebra이므로 \(A^C\in \mathfrak{M}(\mu)\) 이고, 이로부터 임의의 닫힌집합 \(F\)도 \(\mathfrak{M}(\mu)\)의 원소임을 알 수 있다.

명제. \(A \in \mathfrak{M}(\mu)\) 이면 임의의 \(\epsilon > 0\) 에 대하여 \[F \subseteq A \subseteq G, \quad \mu\left( G \setminus A \right) < \epsilon, \quad \mu\left( A \setminus F \right) < \epsilon\] 를 만족하는 열린집합 \(G\)와 닫힌집합 \(F\)가 존재한다.

이는 곧 정의역을 \(\mathfrak{M}(\mu)\)로 줄였음에도 \(\mu\)가 여전히 \(\mathfrak{M}(\mu)\) 위에서 regular라는 뜻입니다.

증명. \(A = \bigcup_{n=1}^\infty A_n\) (\(A_n \in \mathfrak{M}_F(\mu)\)) 로 두고 \(\epsilon > 0\) 을 고정하자. 각 \(n \in \mathbb{N}\) 에 대하여 열린집합 \(B_{n, k} \in \Sigma\) 를 잡아 \(A_n \subseteq\bigcup_{k=1}^\infty B_{n, k}\) 와 \[\mu\left( \bigcup_{k=1}^{\infty} B_{n, k} \right) \leq \sum_{k=1}^{\infty} \mu\left( B_{n, k} \right) < \mu\left( A_n \right) + 2^{-n}\epsilon\] 을 만족하도록 할 수 있다.1

이제 열린집합을 잡아보자. \(G_n = \bigcup_{k=1}^{\infty} B_{n, k}\) 으로 두고 \(G = \bigcup_{n=1}^{\infty} G_n\) 로 잡는다. \(A_n \in \mathfrak{M}_F(\mu)\) 이므로 \(\mu\left( A_n \right) < \infty\) 이고, 다음이 성립한다. \[\begin{aligned} \mu\left( G \setminus A \right) & = \mu\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} G_n \setminus\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) \leq \mu\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} G_n \setminus A_n \right) \\ &\leq \sum_{n=1}^{\infty} \mu\left( G_n \setminus A_n \right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n}\epsilon = \epsilon. \end{aligned}\] 닫힌집합의 존재성을 보이기 위해 위 과정을 \(A^C\)에 대해 반복하면 \(A^C \subseteq F^C\), \(\mu\left( F^C \setminus A^C \right) < \epsilon\) 가 되도록 열린집합 \(F^C\)를 잡을 수 있다. \(F\)가 닫힌집합이고 \(F^C \setminus A^C = F^C \cap A = A\setminus F\) 이므로 \(\mu\left( A \setminus F \right) < \epsilon\) 이고 \(F\subseteq A\) 이다.

정의. (Borel \(\sigma\)-algebra) \(\mathbb{R}^p\)의 모든 열린집합과 닫힌집합을 포함하는 \(\sigma\)-algebra를 \(\mathfrak{B} = \mathfrak{B}(\mathbb{R}^p)\) 라 적고 Borel \(\sigma\)-algebra라 한다. 또한 \(\mathfrak{B}\)의 원소 \(E\)를 Borel set이라 한다.

Borel \(\sigma\)-algebra는 \(\mathbb{R}^p\)의 열린집합을 포함하는 가장 작은 \(\sigma\)-algebra로 정의할 수도 있습니다. \(O\)가 \(\mathbb{R}^p\)의 열린집합의 모임이라 하면 \[\mathfrak{B} = \bigcap_{O \subseteq G,\;G:\, \sigma\text{-algebra}} G\] 로 정의합니다. 여기서 ‘가장 작은’의 의미는 집합의 관점에서 가장 작다는 의미로, 위 조건을 만족하는 임의의 집합 \(X\)를 가져오더라도 \(X \subseteq\mathfrak{B}\) 라는 뜻입니다. 그래서 교집합을 택하게 됩니다. 위 정의에 의해 \(\mathfrak{B} \subseteq\mathfrak{M}(\mu)\) 임도 알 수 있습니다.

\(\mu\)-measure Zero Sets

정의. (\(\mu\)-measure zero set) \(A \in \mathfrak{M}(\mu)\) 에 대하여 \(\mu(A) = 0\) 인 \(A\)를 \(\mu\)-measure zero set이라 한다.

명제. \(A \in \mathfrak{M}(\mu)\) 이면 \(F \subseteq A \subseteq G\) 인 Borel set \(F\), \(G\)가 존재한다. 추가로, \(A\)는 Borel set과 \(\mu\)-measure zero set의 합집합으로 표현할 수 있으며, \(A\)와 적당한 \(\mu\)-measure zero set을 합집합하여 Borel set이 되게 할 수 있다.

증명. \(\mathfrak{M}(\mu)\)의 regularity를 이용하여 다음을 만족하는 열린집합 \(G_n \in \Sigma\), 닫힌집합 \(F_n \in \Sigma\) 를 잡는다. \[F_n \subseteq A \subseteq G_n, \quad \mu\left( G_n \setminus A \right) < \frac{1}{n}, \quad \mu\left( A \setminus F_n \right) < \frac{1}{n}.\] 이제 \(F = \bigcup_{n=1}^{\infty} F_n\), \(G = \bigcap_{n=1}^{\infty} G_n\) 로 정의하면 \(F, G \in \mathfrak{B}\) 이고 \(F \subseteq A \subseteq G\) 이다.

한편, \(A = F \cup (A \setminus F)\), \(G = A \cup (G \setminus A)\) 로 적을 수 있다. 그런데 \(n \rightarrow\infty\) 일 때 \[ \left.\begin{array}{r}\mu\left(G \setminus A\right)\leq \mu\left(G_n \setminus A\right) < \frac{1}{n} \\ \mu\left(A \setminus F\right) \leq \mu\left(A \setminus F_n\right) < \frac{1}{n}\end{array}\right\} \rightarrow 0 \] 이므로 \(A \in \mathfrak{M}(\mu)\) 는 Borel set 과 \(\mu\)-measure zero set의 합집합이다. 그리고 \(A \in \mathfrak{M}(\mu)\) 에 적당한 \(\mu\)-measure zero set을 합집합하여 Borel set이 되게 할 수 있다.

명제. 임의의 measure \(\mu\)에 대하여 \(\mu\)-measure zero set의 모임은 \(\sigma\)-ring이다.

증명. Countable subadditivity를 확인하면 나머지는 자명하다. 모든 \(n\in \mathbb{N}\) 에 대하여 \(\mu\left( A_n \right) = 0\) 이라 하면 \[\mu\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) \leq \sum_{n=1}^{\infty} \mu\left( A_n \right) = 0\] 이다.

명제. \(A\)가 countable set이면 \(m(A) = 0\) 이다. 그러나 \(m(A) = 0\) 이지만 uncountable set인 \(A\)가 존재하기 때문에 역은 성립하지 않는다.

증명. \(A\)가 countable set이라 하자. 그러면 \(A\)는 점들의 countable union이고, 점은 measure가 0인 \(\mathbb{R}^p\)의 닫힌집합이므로 \(A\)는 measurable이면서 (닫힌집합의 합집합) \(m(A) = 0\) 이 된다.

Uncountable인 경우에는 Cantor set \(P\)를 생각한다. \(E_n\)을 다음과 같이 정의한다.

  • \(E_0 = [0, 1]\).
  • \(E_1 = \left[0, \frac{1}{3}\right] \cup \left[\frac{2}{3}, 1\right]\), \(E_0\)의 구간을 3등분하여 가운데를 제외한 것이다.
  • \(E_2 = \left[0, \frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac{2}{9}, \frac{3}{9}\right] \cup \left[\frac{6}{9}, \frac{7}{9}\right] \cup \left[\frac{8}{9}, 1\right]\), 마찬가지로 \(E_1\)의 구간을 3등분하여 가운데를 제외한 것이다.

위 과정을 반복하여 \(E_n\)을 얻고, Cantor set은 \(P = \bigcap_{n=1}^{\infty} E_n\) 로 정의한다. 여기서 \(m(E_n) = \left( \frac{2}{3} \right)^n\) 임을 알 수 있고, \(P \subseteq E_n\) 이므로 \(m(P)\leq m(E_n)\) 가 성립한다. 이제 \(n \rightarrow\infty\) 로 두면 \(m(P) = 0\) 이다.

참고. \(\mathfrak{M}(m) \subsetneq \mathcal{P}(\mathbb{R}^p)\). \(\mathbb{R}^p\)의 부분집합 중 measurable하지 않은 집합이 존재한다.2

Measure Space

이제 본격적으로 measure와 Lebesgue integral을 다룰 공간을 정의하겠습니다.

정의. (Measure Space) 집합 \(X\)에 대하여 \(\sigma\)-algebra/\(\sigma\)-ring \(\mathfrak{M}\) on \(X\)와 \(\mathfrak{M}\) 위의 measure \(\mu\)가 존재하면 \(X\)를 measure space라 한다. 그리고 \(X = (X, \mathfrak{M}, \mu)\) 로 표기한다.

정의. (Measurable Space) 집합 \(X\)에 대하여 \(\mathfrak{M}\)이 \(\sigma\)-algebra on \(X\)이면 \(X\)를 measurable space라 한다. 그리고 \(X = (X, \mathfrak{M})\) 으로 표기한다.

두 정의를 비교하면 measure \(\mu\)가 주어진 \((X, \mathfrak{M}, \mu)\)는 measure space이고, \(\mu\)가 주어지지 않은 \((X, \mathfrak{M})\)은 잴 수 있다는 의미에서 measurable space입니다.

예제.

  1. \((\mathbb{R}^p, \mathfrak{M}(m), m)\)를 Lebesgue measure space라 한다.
  2. 원소의 개수를 세는 counting measure \(\mu(E) = \left| E \right|\) (\(E \in \mathcal{P}(\mathbb{N})\)) 에 대하여 \((\mathbb{N}, \mathcal{P}(\mathbb{N}), \mu)\)는 measure space가 된다.

 


  1. 첫 번째 부등식은 countable subadditivity, 두 번째 부등식은 \(\mu^\ast\)의 정의에서 나온다.↩︎
  2. Vitali set 참고.↩︎

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