03. Remarks, Measure Spaces

Remarks on Construction of Measure

Construction of measure 증명에서 추가로 참고할 내용입니다.

명제. $A$가 열린집합이면 $A\in \mathfrak{M}(\mu )$ 이다. 또한 $A^C\in \mathfrak{M}(\mu )$ 이므로, $F$가 닫힌집합이면 $F\in \mathfrak{M}(\mu )$ 이다.

증명. 중심이 $x\in {\mathbb{R}}^p$ 이고 반지름이 $r$인 열린 box를 $I(x,r)$이라 두자. $I(x,r)$은 명백히 ${\mathfrak{M}}_F(\mu )$의 원소이다. 이제 $$A=\bigcup _{\begin{array}{c}x\in {\mathbb{Q}}^p,r\in \mathbb{Q}\\ I(x,r)\subseteq A\end{array}}I(x,r)$$ 로 적을 수 있으므로 $A$는 ${\mathfrak{M}}_F(\mu )$의 원소들의 countable union이 되어 $A\in \mathfrak{M}(\mu )$ 이다. 이제 $\mathfrak{M}(\mu )$가 $\sigma$-algebra이므로 $A^C\in \mathfrak{M}(\mu )$ 이고, 이로부터 임의의 닫힌집합 $F$도 $\mathfrak{M}(\mu )$의 원소임을 알 수 있다.

명제. $A\in \mathfrak{M}(\mu )$ 이면 임의의 $ϵ>0$ 에 대하여 $$F\subseteq A\subseteq G,\mu (G\setminus A)<ϵ,\mu (A\setminus F)<ϵ$$ 를 만족하는 열린집합 $G$와 닫힌집합 $F$가 존재한다.

이는 곧 정의역을 $\mathfrak{M}(\mu )$로 줄였음에도 $\mu$가 여전히 $\mathfrak{M}(\mu )$ 위에서 regular라는 뜻입니다.

증명. $A=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$ ($A_n\in {\mathfrak{M}}_F(\mu )$) 로 두고 $ϵ>0$ 을 고정하자. 각 $n\in \mathbb{N}$ 에 대하여 열린집합 $B_{n,k}\in \mathrm{\Sigma }$ 를 잡아 $A_n\subseteq \bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_{n,k}$ 와 $$\mu \left(\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_{n,k}\right)\le \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\mu \left(B_{n,k}\right)<\mu \left(A_n\right)+2^{-n}ϵ$$ 을 만족하도록 할 수 있다.¹

이제 열린집합을 잡아보자. $G_n=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_{n,k}$ 으로 두고 $G=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{G}_n$ 로 잡는다. $A_n\in {\mathfrak{M}}_F(\mu )$ 이므로 $\mu \left(A_n\right)<\mathrm{\infty }$ 이고, 다음이 성립한다. $$\begin{array}{rl}\mu (G\setminus A)& =\mu (\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{G}_n\setminus \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n)\le \mu (\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{G}_n\setminus A_n)\\ & \le \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (G_n\setminus A_n)\le \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-n}ϵ=ϵ.\end{array}$$ 닫힌집합의 존재성을 보이기 위해 위 과정을 $A^C$에 대해 반복하면 $A^C\subseteq F^C$, $\mu (F^C\setminus A^C)<ϵ$ 가 되도록 열린집합 $F^C$를 잡을 수 있다. $F$가 닫힌집합이고 $F^C\setminus A^C=F^C\cap A=A\setminus F$ 이므로 $\mu (A\setminus F)<ϵ$ 이고 $F\subseteq A$ 이다.

정의. (Borel $\sigma$-algebra) ${\mathbb{R}}^p$의 모든 열린집합과 닫힌집합을 포함하는 $\sigma$-algebra를 $\mathfrak{B}=\mathfrak{B}({\mathbb{R}}^p)$ 라 적고 Borel $\sigma$-algebra라 한다. 또한 $\mathfrak{B}$의 원소 $E$를 Borel set이라 한다.

Borel $\sigma$-algebra는 ${\mathbb{R}}^p$의 열린집합을 포함하는 가장 작은 $\sigma$-algebra로 정의할 수도 있습니다. $O$가 ${\mathbb{R}}^p$의 열린집합의 모임이라 하면 $$\mathfrak{B}=\bigcap _{O\subseteq G,G:\sigma \text{-algebra}}G$$ 로 정의합니다. 여기서 ‘가장 작은’의 의미는 집합의 관점에서 가장 작다는 의미로, 위 조건을 만족하는 임의의 집합 $X$를 가져오더라도 $X\subseteq \mathfrak{B}$ 라는 뜻입니다. 그래서 교집합을 택하게 됩니다. 위 정의에 의해 $\mathfrak{B}\subseteq \mathfrak{M}(\mu )$ 임도 알 수 있습니다.

$\mu$-measure Zero Sets

정의. ($\mu$-measure zero set) $A\in \mathfrak{M}(\mu )$ 에 대하여 $\mu (A)=0$ 인 $A$를 $\mu$-measure zero set이라 한다.

명제. $A\in \mathfrak{M}(\mu )$ 이면 $F\subseteq A\subseteq G$ 인 Borel set $F$, $G$가 존재한다. 추가로, $A$는 Borel set과 $\mu$-measure zero set의 합집합으로 표현할 수 있으며, $A$와 적당한 $\mu$-measure zero set을 합집합하여 Borel set이 되게 할 수 있다.

증명. $\mathfrak{M}(\mu )$의 regularity를 이용하여 다음을 만족하는 열린집합 $G_n\in \mathrm{\Sigma }$, 닫힌집합 $F_n\in \mathrm{\Sigma }$ 를 잡는다. $$F_n\subseteq A\subseteq G_n,\mu (G_n\setminus A)<\frac{1}{n},\mu (A\setminus F_n)<\frac{1}{n}.$$ 이제 $F=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{F}_n$, $G=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{G}_n$ 로 정의하면 $F,G\in \mathfrak{B}$ 이고 $F\subseteq A\subseteq G$ 이다.

한편, $A=F\cup (A\setminus F)$, $G=A\cup (G\setminus A)$ 로 적을 수 있다. 그런데 $n\to \mathrm{\infty }$ 일 때 $$\begin{array}{r}\mu (G\setminus A)\le \mu (G_n\setminus A)<\frac{1}{n}\\ \mu (A\setminus F)\le \mu (A\setminus F_n)<\frac{1}{n}\end{array}\}\to 0$$ 이므로 $A\in \mathfrak{M}(\mu )$ 는 Borel set 과 $\mu$-measure zero set의 합집합이다. 그리고 $A\in \mathfrak{M}(\mu )$ 에 적당한 $\mu$-measure zero set을 합집합하여 Borel set이 되게 할 수 있다.

명제. 임의의 measure $\mu$에 대하여 $\mu$-measure zero set의 모임은 $\sigma$-ring이다.

증명. Countable subadditivity를 확인하면 나머지는 자명하다. 모든 $n\in \mathbb{N}$ 에 대하여 $\mu \left(A_n\right)=0$ 이라 하면 $$\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)\le \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu \left(A_n\right)=0$$ 이다.

명제. $A$가 countable set이면 $m(A)=0$ 이다. 그러나 $m(A)=0$ 이지만 uncountable set인 $A$가 존재하기 때문에 역은 성립하지 않는다.

증명. $A$가 countable set이라 하자. 그러면 $A$는 점들의 countable union이고, 점은 measure가 0인 ${\mathbb{R}}^p$의 닫힌집합이므로 $A$는 measurable이면서 (닫힌집합의 합집합) $m(A)=0$ 이 된다.

Uncountable인 경우에는 Cantor set $P$를 생각한다. $E_n$을 다음과 같이 정의한다.

• $E_0=[0,1]$.
• $E_1=[0,\frac{1}{3}]\cup [\frac{2}{3},1]$, $E_0$의 구간을 3등분하여 가운데를 제외한 것이다.
• $E_2=[0,\frac{1}{9}]\cup [\frac{2}{9},\frac{3}{9}]\cup [\frac{6}{9},\frac{7}{9}]\cup [\frac{8}{9},1]$, 마찬가지로 $E_1$의 구간을 3등분하여 가운데를 제외한 것이다.

위 과정을 반복하여 $E_n$을 얻고, Cantor set은 $P=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_n$ 로 정의한다. 여기서 $m(E_n)={\left(\frac{2}{3}\right)}^n$ 임을 알 수 있고, $P\subseteq E_n$ 이므로 $m(P)\le m(E_n)$ 가 성립한다. 이제 $n\to \mathrm{\infty }$ 로 두면 $m(P)=0$ 이다.

참고. $\mathfrak{M}(m)⊊\mathcal{P}({\mathbb{R}}^p)$. ${\mathbb{R}}^p$의 부분집합 중 measurable하지 않은 집합이 존재한다.²

Measure Space

이제 본격적으로 measure와 Lebesgue integral을 다룰 공간을 정의하겠습니다.

정의. (Measure Space) 집합 $X$에 대하여 $\sigma$-algebra/$\sigma$-ring $\mathfrak{M}$ on $X$와 $\mathfrak{M}$ 위의 measure $\mu$가 존재하면 $X$를 measure space라 한다. 그리고 $X=(X,\mathfrak{M},\mu )$ 로 표기한다.

정의. (Measurable Space) 집합 $X$에 대하여 $\mathfrak{M}$이 $\sigma$-algebra on $X$이면 $X$를 measurable space라 한다. 그리고 $X=(X,\mathfrak{M})$ 으로 표기한다.

두 정의를 비교하면 measure $\mu$가 주어진 $(X,\mathfrak{M},\mu )$는 measure space이고, $\mu$가 주어지지 않은 $(X,\mathfrak{M})$은 잴 수 있다는 의미에서 measurable space입니다.

예제.

1. $({\mathbb{R}}^p,\mathfrak{M}(m),m)$를 Lebesgue measure space라 한다.
2. 원소의 개수를 세는 counting measure $\mu (E)=\left|E\right|$ ($E\in \mathcal{P}(\mathbb{N})$) 에 대하여 $(\mathbb{N},\mathcal{P}(\mathbb{N}),\mu )$는 measure space가 된다.

 

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1. 첫 번째 부등식은 countable subadditivity, 두 번째 부등식은 ${\mu }^{\ast }$의 정의에서 나온다.↩︎
2. Vitali set 참고.↩︎