08. Comparison with the Riemann Integral

Comparison with the Riemann Integral

먼저 혼동을 막기 위해 Lebesgue measure $m$에 대하여 르벡 적분을 $${\int }_{[a,b]}fdm={\int }_{[a,b]}fdx={\int }_a^{b}fdx$$ 와 같이 표기하고, 리만 적분은 $$\mathcal{R}{\int }_a^{b}fdx$$ 로 표기하겠습니다.

정리. $a,b\in \mathbb{R}$ 에 대하여 $a<b$ 이고 함수 $f$가 유계라고 하자.

1. $f\in \mathcal{R}[a,b]$ 이면 $f\in {\mathcal{L}}^1[a,b]$ 이고 ${\displaystyle {\int }_a^{b}fdx=\mathcal{R}{\int }_a^{b}fdx}$ 이다.
2. $f\in \mathcal{R}[a,b]$ $⟺$ $f$가 연속 $m$-a.e. on $[a,b]$.

쉽게 풀어서 적어보면, (1)은 $f$가 $[a,b]$에서 리만 적분 가능하면 르벡 적분 또한 가능하며, 적분 값이 같다는 의미입니다. 즉 르벡 적분이 리만 적분보다 더 강력하다는 것을 알 수 있습니다.

또한 (2)는 리만 적분 가능성에 대한 동치 조건을 알려줍니다. Almost everywhere라는 조건이 붙었기 때문에, ${\mathcal{L}}^1$의 equivalence class를 고려하면 사실상 연속함수에 대해서만 리만 적분이 가능하다는 뜻이 됩니다.

증명. $k\in \mathbb{N}$ 에 대하여 구간 $[a,b]$의 분할 $P_k=\{a=x_0^k<x_1^k<\cdots <x_{n_k}^k=b\}$ 를 잡는다. 단 $P_k\subseteq P_{k+1}$ (refinement) 이고 $|x_i^k-x_{i-1}^k|<\frac{1}{k}$ 이 되도록 한다.

그러면 리만 적분의 정의로부터 $$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}L(P_k,f)=\mathcal{R}\underset{―}{{\int }_a^b}fdx,\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}U(P_k,f)=\mathcal{R}\overline{{\int }_a^b}fdx$$ 임을 알 수 있다.

이제 measurable simple function $U_k,L_k$를 다음과 같이 잡는다. $$U_k=\sum _{i=1}^{n_k}\underset{x_{i-1}^k\le y\le x_i^k}{sup}f(y){\chi }_{(x_{i-1}^k,x_i^k]},L_k=\sum _{i=1}^{n_k}\underset{x_{i-1}^k\le y\le x_i^k}{inf}f(y){\chi }_{(x_{i-1}^k,x_i^k]}.$$ 그러면 구간 $[a,b]$ 위에서 $L_k\le f\le U_k$인 것은 당연하고, 르벡 적분이 가능하므로 $${\int }_a^b{L}_{k}dx=L(P_k,f),{\int }_a^b{U}_{k}dx=U(P_k,f)$$ 이 됨을 알 수 있다. 여기서 $P_k\subseteq P_{k+1}$ 이 되도록 잡았기 때문에, $L_k$는 증가하는 수열, $U_k$는 감소하는 수열이다.

그러므로 $$L(x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{L}_k(x),U(x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{U}_k(x)$$ 로 정의했을 때, 극한이 존재함을 알 수 있다. 여기서 $f,L_k,U_k$가 모두 유계인 함수이므로 지배 수렴 정리에 의해 $${\int }_a^{b}Ldx=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^b{L}_{k}dx=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}L(P_k,f)=\mathcal{R}\underset{―}{{\int }_a^b}fdx<\mathrm{\infty },$$ $${\int }_a^{b}Udx=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^b{U}_{k}dx=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}U(P_k,f)=\mathcal{R}\overline{{\int }_a^b}fdx<\mathrm{\infty }$$ 이므로 $L,U\in {\mathcal{L}}^1[a,b]$ 이다.

위 사실을 종합하면 $f\in \mathcal{R}[a,b]$ 일 때, $$\mathcal{R}\underset{―}{{\int }_a^b}fdx=\mathcal{R}\overline{{\int }_a^b}fdx$$ 이므로 $${\int }_a^b(U-L)dx=0$$ 가 되어 $U=L$ $m$-a.e. on $[a,b]$라는 사실을 알 수 있다. 역으로 이를 거꾸로 읽어보면 $U=L$ $m$-a.e. on $[a,b]$일 때 $f\in \mathcal{R}[a,b]$ 가 되는 것 또한 알 수 있다.

(1) 위 논의에 의해 $f\in \mathcal{R}[a,b]$ 이면 $f=U=L$ a.e. on $[a,b]$ 이다. 따라서 $f$는 measurable. $${\int }_a^{b}fdx=\mathcal{R}{\int }_a^{b}fdx<\mathrm{\infty }⟹f\in {\mathcal{L}}^1[a,b].$$

(2) 만약 $x\notin \bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{P}_k$ 라고 가정하면, 임의의 $ϵ>0$ 에 대해 충분히 큰 $n\in \mathbb{N}$ 을 잡았을 때 적당한 $j_0\in \mathbb{N}$ 이 존재하여 $x\in (t_{j_0-1}^n,t_{j_0}^n)$ 이면서 $$|L_n(x)-L(x)|+|U_n(x)-U(x)|<ϵ$$ 이 되도록 할 수 있다. 그러면 $y\in (t_{j_0-1}^n,t_{j_0}^n)$ 일 때 $$\begin{array}{rl}|f(x)-f(y)|& \le M_{j_0}^n-m_{j_0}^n=M_{j_0}^n-U(x)+U(x)-L(x)+L(x)-m_{j_0}^n\\ & \le U(x)-L(x)+ϵ\end{array}$$ 가 됨을 알 수 있다.

위 부등식에 의해 $y\in \{x:U(x)=L(x)\}\setminus \bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{P}_k$ 이면 $f$가 $y$에서 연속임을 알 수 있게 된다.

따라서, $f$가 연속인 점들의 집합을 $C_f$라 하면 $$\{x:U(x)=L(x)\}\setminus \bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{P}_k\subseteq C_f\subseteq \{x:U(x)=L(x)\}$$ 이 된다. 한편 $\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{P}_k$는 measure가 0 이므로, $U=L$ $m$-a.e. 인 것과 $f$가 연속 $m$-a.e. 인 것은 동치이다. 위 논의의 결과를 이용하면 $f\in \mathcal{R}[a,b]$ 인 것과 $f$가 연속 $m$-a.e. 인 것은 동치이다.

아래는 증명의 부산물입니다.

참고.

1. $x\notin \bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{P}_k$ 이면 $f$가 $x$에서 연속 $⟺f(x)=U(x)=L(x)$ 이다.
2. $L(x)\le f(x)\le U(x)$ 이고 measurable function의 극한인 $L(x),U(x)$ 또한 measurable이다.
3. $f$가 유계라는 조건이 있기 때문에 $f\ge 0$ 인 경우만 생각해도 충분하다. $\left|f\right|\le M$ 라고 하면 $f$ 대신 $f+M$ 을 생각하면 되기 때문이다.

이제 리만 적분의 유용한 성질들을 가지고 와서 사용할 수 있습니다.

1. $f\ge 0$ 이고 measurable일 때, $f_n=f{\chi }_{[0,n]}$으로 정의한다. 단조 수렴 정리에 의해 $${\int }_0^{\mathrm{\infty }}fdx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{f}_{n}dx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{n}fdx$$ 이다. 마지막 적분을 리만 적분으로 계산할 수 있다.
2. 닫힌 유계 구간 $I\subseteq (0,\mathrm{\infty })$ 에 대하여 $f\in \mathcal{R}(I)$ 라 하면 $f\in {\mathcal{L}}^1(I)$ 이다. $f_n=f{\chi }_{[0,n]}$ 으로 잡으면 $\left|f_n\right|\le f$ 이므로 지배 수렴 정리를 적용하여 $${\int }_0^{\mathrm{\infty }}fdx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{f}_{n}dx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{n}fdx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\mathcal{R}{\int }_0^{n}fdx$$ 임을 알 수 있다.
3. 마찬가지로 $f_n=f{\chi }_{(1/n,1)}$ 으로 잡은 경우에도 지배 수렴 정리에 의해 $${\int }_0^{1}fdx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^1{f}_{n}dx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{1/n}^{1}fdx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\mathcal{R}{\int }_{1/n}^{1}fdx$$ 이 된다.